电子飘移原理及应用 两个简单的方法，让你了解电子的漂移速度

两个简单的方法，让你了解电子的漂移速度

电子讯号通常以极快的速度从A点传播到B点。例如，电子讯号经由同轴电缆从来源传送到负载的移动速度大约是光速的三分之二。然而，电荷粒子通过电导体的移动速度实际上却达不到那么快。

这正是所谓的「漂移速度」(drift velocity)，它是指一个电子将以每秒23微米(µm)的速度游移。

例如，以每小时51.75微英哩的速度通过大约2mm直径的铜线。请参考「维基百科：漂移速度」(Wikipedia: Drift Velocity)，其中对此作了很好的诠释。

此外，我们还可以参考一种机械模拟法，即以手指指尖轻推标尺的一端，导致另一端的块体(mass)发生移动。

标尺模拟法

为了让块体移动至一定的距离，无论需要多少能量都由指尖所提供。指尖轻推一下木质颗粒，带动其轻推下一个木质颗粒，它再推动其后的木质颗粒......直到最后的颗粒轻推块体。能量从指尖传送到块体的过程发生地如此之快，以至于无法真正看到其间的变化。该能量极速地走完3英呎长的标尺，但该标尺本身仅以漂移速度移动。

现在我们以铜线来看，电激励(electrical excitation)轻推第一个电子，带动该电子推动下一个电子，它再轻推下一个电子......直到最后的电子激发负载。尽管这种模拟方法并非尽善尽美，但它确实有助于我们了解讯号传播速度与带电粒子漂移速度之间的概念差异。

电能是什么？它是靠电流输送的吗？也许你全错了！

电流是导体内带电粒子作大规模定向运动所导致的。随着电流的接通，电源的能量——由某种力克服电场力做功获得的电能，被传送到电路各处以供使用。

若电流经过电阻，将产生热；若经过电感，将通过安培力对外做功；若经过发光设备，则发出光。总之，电流流过的地方，就会有能量转换，即从电能转化为其他形式的能量。

读到这里，很多人的脑子里会有一副这样的画面：那些随着电流漂移的带电粒子——我们称之为载流子，就像一个个背着储能小钢罐卡通人一样，它们在电路中奔跑，将能量不断送出，周而复始，直到电源被耗尽。

01

载流子的运动

根据上面这种理解，大多数人很自然就认为，电能是通过导线，随着载流子的运动而被传送的。

据此，有人用如下动画表示这种过程。导线中流动的载流子彼此连成一个环状的列车，从电源出来的载流子能量满满，穿过负载后，能量被消耗一空，电子空车又返回电源重新装载能量，再出发。

那么，物理事实真的是这样的吗？

非也！仅凭一个大家熟知的事实，就可以否定这种说法。

诸位在中学物理中都学过变压器，如下图就是一个示例。可以看到，两个线圈之间是绝缘的，电流并没有接通，所以指望电能随着载流子在导线中运动而被传递的想法是不对的。

你再想象一下，当那电站的闸刀一合上，电能瞬间就被送到了千里之外，如果真的靠导线中的电子的运动来携带电能，那速度怎会如此之快？

也许你会说：也不是不可以哦，毕竟电子的速度可以很快嘛！

然而，导线中的载流子的速度其实比你想象的要慢的多。不信的话，我们可以算一算。

考虑铜导线，假设每个铜原子贡献一个电子作为载流子。现有1mol的铜，它的体积为 ，摩尔质量为 ，密度为 ，则铜导线的载流子的浓度为 其中 为阿佛加德罗常数。查得铜的密度，代入得 的值大约为 个/立方米。

根据电流强度的定义，它等于单位时间内穿过导体截面的电量 设有导体横截面为 ，载流子的浓度为 ，漂移速度为 ，所带电荷为 。

则位于面 的左侧长为 的导体内的电荷为 ，这些电荷将在 的时间内穿过该面，故 这是电流强度的微观表达式。顺便说一下电流密度这个东东，因为后面要用到。它是指单位面积上的电流，也就是 由于导体内部各个点的载流子的速度可能不同，为了更细致的描述这种一般情况，就将电流密度定义为矢量，用 表示，即 设铜导线的半径为 =0.8mm，电流强度 为15安， = ，计算得电子的漂移速度为

这速度怎么样？天啦！不说比乌龟慢，根据百科数据，这个速度比蜗牛还慢得多！凭这个速度，电网什么时候才能把电能送达到用户手中？

其实，之所以有人把载流子比作携带能量的车子，因为他们凭直觉认为，电能是被带电粒子所携带的。

然而，作为载流子——例如电子，是没有大小的。至少目前看来，电子只是一个点而已，没有内部结构。它若要携带能量，这能量装在哪里？

实际上，除了自身的质量所度量的静能之外，电子只有一种可以携带的能量，那就是动能。

但动能显然不是电能的本质。既然电子的漂移速度慢若蜗牛，而电子的质量又是如此之小，根据上面的载流子的浓度，你大概可以算一下，在电流一次完整的流过电路的过程中，比起负载消耗的电能来说，全部载流子的动能加起来的值是微不足道的。

那么，电能到底是什么呢？

02

电能的本质

要回答这个问题，先要了解电能是怎么得到的。本文开篇第一段就说了，电能是电场力之外的某种力反抗电场力做功获得的。

电荷同性相斥，异性相吸。因此，世间万物的最佳的和谐结构内部的正负电荷之和必为零。如果要将这些原本均匀相间的正负电荷残忍分离，那必然就引起它们的强烈反抗，因此你得付出代价。

例如，用某种方法让一块物体带电的过程中，在获得第一个电荷微元时，几乎不费什么力，但随之后面的其他所有电荷都是新来的了——将受到越来越大的排斥力——因为同性相斥。

类似的，下面这个惊心动魄的挖坑(fen)过程中，随着他越挖越深，为了将沙子放到逐渐变高的沙堆顶上，他需要对沙子作更多的功。

设某次搬运的沙的重量为 ，此时沙堆与坑的落差为 ，则此次做功为 待挖坑完毕时，他克服重力做的总功为 这个总功即为沙土的重力势能的增加量。

类似的，在不断的搬运电荷的过程中，你也不断做功，直到你最终获得一个宏观带电体，你所付出的全部做功之和被转换为一种能量。

所以，当你获得一个带电体时，你也就获得了一份能量。

那么这个能量是什么呢？换句话说，这个能量是以什么形式存在呢？

堆沙时，移动沙作的功变成沙的重力势能。类似的，搬电荷也会造成一种势能的积累，它就是电势能。

相隔一定距离的电荷，都处于对方形成的电场的势力范围中，或吸引或排斥。但却因为某种阻隔，无法无限靠近或远离。保留进一步靠近或远离的趋势和潜力——引而不发，就像射雕大侠手中的弯弓一样，形成彼此之间共有的一种潜在的能量，此乃电势能是也。

所以，从物理上说，电能的本质就是电势能。

那么，说来说去，作为电能本质的电势能，到底存在于哪里呢？

有人说，势能是作用双方共有的，但这样说还不够明确！

现代物理学认为，势能是场的能量。场的能量与动能不同，它不是被一个运动的粒子所携带的，而是处于粒子周围的空间中。

这其实是场的观点所带来的最深刻的物理思想的变革——能量存在于空间中，而非物体上。而实际上，不光电势能如此，重力势能也是如此，所有的势能都是如此。

当你剪断悬挂重物的的绳子，物体的势能将被释放，产生能量转化。实际上，墙上的插座打开时，类似的事情也发生了：被蓄于插座内的能量就被放行了。

其实，只有这种引而不发的能量才可以收放自如，如果电能本质上是动能，那岂能靠一个开关就能管得住那千千万万个活蹦乱跳的载流子儿？

一个高温物体，它要散热，不要说什么开关，就算是用毛毯包起来，你都很难阻止它的能量流出，因为热能本质上真的就是微观粒子的动能。

你现在明白了，那些带电粒子的体系所具有的电能，并不在粒子自身上，而是粒子的身外之物，它在粒子的周围空间中。它并不会随着载流子的运动而被同步输送。但它会随着电场的建立而扩展到所能到达的全部空间。

如果电荷是静止的，则只有电场，只有电场能。但若是运动的电荷或电流，还会有磁场！因此更安全的说法是电磁场，电能包含电场能量和磁场能量。

电场的能量存在于电场的空间中，它应该可以用电场的量来表示。没错，单位空间体积内电场能量为 其中 为电场强度， 为介质电容率。对此式，下面浅色字体部分给出了一个简短的推理过程，不感兴趣可以跳过。

考虑最简单的均匀电场，它可通过平行板电容器获得。类比上述挖坑过程，设某次充电 ,此时电容器的电压为 ，则外力在此次充电时做功为 。

若将充电过程中外力反抗电场力所做功累计起来，就是获得的电能，即 设最后电压为 ，设电容器电容为 ，设每一次充电无限小，则上式为 根据电容定义 ，即 根据平行板电容器的电容表达式 考虑到 及 ，可知 这说明，单位体积内电场的能量，即能量密度为 对于电路，由于电流的磁效应，还有磁场，磁场能量密度与电场能量密度是类似的，即

其中 是磁场强度， 为介质磁导率。所以得电磁场能量密度就是

此式对一切电磁场都适用。因此，只要知道电磁场的分布情况，将其对空间积分，就得到电磁场能量的值。

讲到这里，有人会有这样的疑问：电池里面储存的是电能吗？如果是，也是存在于电池内外空间中吗？

这其实涉及电能的另一个问题：电能是如何被存储的？

提示：下面这一节与主线关系不是特别大，不感兴趣可以跳过。

03

电能的存储方式

很多人认为，储存电能的装置——电池，里面就装着电能，打开盖子就可以享用了。

其实，这是一种误解，电能并不一定以电能的形式存储，实际上，绝大多数情况下，都不是以电能的形式存储。

就拿化学电池来说，它存储的是化学能，在充电时，电能被转换成化学能，使用时，化学能又被转换成电能。

那么，电能有哪些常见的存储方式呢？

简单的说，主要有三大类。

第一类是直接以电磁能的形式存储。

如果你有办法将一堆正负电荷隔开一定距离放着，让它们日思夜想都无法汇合，那你就存储电能了。

莱顿瓶就是干这事的。如下图，内外各贴有一层锡箔的玻璃瓶，从外面伸入金属链将电荷引入，关上盖子，电荷就被装在瓶子里了，也就装了一瓶电能了。据说美国的那个冒险家富兰克林曾用莱顿瓶收集雷电的能量。

其实莱顿瓶就是一个平板电容器，两层锡箔就是两个导体板。电荷隔着玻璃相望，电场位于极板之间的空间中，所以电容器是真正的原装电能存储方式。

根据电流的磁效应，电流流过线圈时产生磁场，因而具有磁能。人们通过给超导线圈通电，将电能变成线圈的磁场能量而存储起来，这种技术成本极高，应用不多。

第二类就是前面提到的化学储能。

化学反应放出能量，例如蜡烛和柴草燃烧后放出热能。而化学电池能将反应放出的能量转换为电能。应用最为广泛的化学电池是锂电池，因为锂很轻，所以一块小小的锂电池可容纳不少能量，这是它能被广泛应用的原因之一。

第三类是存储为机械能。

例如水电站在用电低谷时，用水泵将水抽到高处，这就将电能转化为水的重力势能。等到用电高峰时，就放水发电。

还有一种常见的机械储能是飞轮储能，即用电机驱动飞轮高速旋转，将电能存储为动能。这种方式常用于那种在短时间内需要大量能量的场合，例如核聚变的点火过程。

讲完电能的存储问题，重新回到我们的主线问题上来。

04

能量的转化

有了以上对于电能本质及存储方式的了解，对于本文开篇中提到的电路中的能量转换的过程，就可以理解得稍微清晰些了。

之所以说“稍微”，因为这一节我们暂不讨论能量的流动，只讨论转化。

在电源被接入电路之前，它有一个储能的过程，例如化学电池就存储了化学能。我们来讨论这之后的电路工作过程。

电路中的电源是能量的提供者，负载是能量的消耗者。因此，一个电路在工作过程中，涉及两个主要的能量转换。

第一个转换是指能量从电源中被转换成电能。

这个转换是通过一种与电场反抗的力——非静电力的做功实现的。非静电力泛指一切能反抗电场力的力。它像法海那样，专门拆散恩爱的配偶，所以它擅长分离电荷到两极。

即使在电源未被接入到电路中时，这个转换也发生过，只是很快就停止了。因为电荷的分离导致两极之间产生电场，载流子受到增长的电场力，直到与非静电力平衡。

因此，一个开路电源，内部是有电场的！也就是说，电源两端电势差，并不是接通时瞬间产生的，而是本来就有的。

接通电路以后，这种平衡立刻被打破，因为外电路上的电子受到电场的驱动力，两极处的电荷开始移动，于是电源内部的平衡也被打破。作为法海的非静电力又占上风了，于是他开始一波又一波的拆分动作，将化学能不断转化为电场能，以维持电源两端的电势差。

第二个转换是指电能被负载消耗。

这些被消耗的电能被变成其他的能量，如热能，光能，机械能等。也包括给电池充电，那样的话，电能又重新变成了化学能了。

以金属电阻为例。这个过程中，电子与晶格不断碰撞，电子的定向运动的动能被传递给金属原子。金属原子的振动速度加剧，使电阻的温度升高，产生焦耳热。

电子的运动有两部分，一部分是热运动，速度达到每秒数百公里以上；另一部分是随电流的漂移速度。前面讲过，这个速度小的可怜，而电子不断传递给晶格的能量就源于这部分动能。

说到这里，有人大概想起前文提到过——电能的本质不是载流子的动能啊！现在却又说焦耳热源自电子的定向运动的动能？

怎么回事呢？

大家想，外电路中的电子的动能从哪里获得的？当然是经电场加速而获得啊！因为电源外存在电场，它必定会对电子做功嘛。

注：在电源内部，非静电力和电场力一起对电子做功，此处暂且不表。

实际上，在电子每两次与晶格碰撞之间，电子有一个短暂的加速过程，电子获得动能，但与晶格碰撞会导致电子的动能损失掉。

也就是说，电子这点动能是不断失去和重新获得的！电场不断为电子提供后勤补给，电子不断的得到动能，然后送给晶格变成热能。

如果将电能本身理解为载流子的动能，那么你很容易错误的认为：从电源流出的电子具有动能，这个动能在流经回路过程中慢慢消耗掉。这明显是不对的！动能不过是电能转换热能的一种途径，而不是电能本身。

如果只考虑纯电阻电路，上述不断进行的转换过程差不多就是这样的：

电源储能➞电能➞热能

因此，电场能就相当于起到一个换手的中间作用。

如果电场能的收支平衡，那么电场能可以保持不变，电源的储能与负载耗能一致，这就是稳恒电流电路的情形。

什么是稳恒电流？为了后续内容，这里也讲一下。

简单的说，稳恒电流是指电路中的任何一点的电流密度都保持不变的电流。

由于电流是由电场驱动电荷运动导致的，要使电流不变，则电场就要恒定；而电场又是电荷激发的，要使电场不变，则电荷的分布就要不变。因此，稳恒电流就要求各个点的电荷密度保持不变。

以水流为例，如果其内部任意点的流速保持完全恒定，则水的任意点的密度也保持不变，这种现象叫层流。如下图，此时水就看起来像静止的一样——虽然它实际上在流动。

正是因为稳恒电流电路中的电荷分布不变，因此电场分布也不变，那么电场的能量也是不变的。

因此，在稳恒电流电路中，电场就好比一个河流流经的湖，虽然下游水不断流出，但水库上游水也在不断注入，因此湖泊的水平面并无变化。

05

电能的传送

前面已经阐明，电能并不随载流子同步运动，而是以电磁场的能量形式存在于电荷周围的空间中。

电磁场一方面从电源获得输入，另一方面向负载输出能量。

因此，自然而然的，能量的传输也就必定只能依赖电磁场了。

电磁场在空间中传播虽然需要时间，但是这个时间非常短，因为电磁场传播的速度是光速，因此电能传输也是以光速进行。所以你现在明白了，为什么电站的闸刀一合，电就瞬间抵达千里之外了吧！

对稳恒电流电路来说，电磁场是不变的。但这个电场有一个建立的过程，这发生在开关闭合的瞬间。本来开关两极之间存在一个电场，当开关闭合时，所产生的扰动改变了这个电场，从而向外发出电磁波，电磁场能量被传送到电磁波所到之处。

在电流稳定之后，这个被电磁波传递的电磁场也稳定下来，将整个电路包围起来，电源储能源源不断的变成电磁场的能量，而这个场能量在电磁场中以光速传递，抵达负载后又被转换为不同的能量。

这里要注意一个事实，虽然稳恒电场是不变的，但是它的能量实际上是在以光速流动的，这也是它与静电场的区别之一。正如层流现象中的水，它实际上也在流动。

然而，这样一来，另外一个问题就来了：既然如此，那为什么还需要导线呢？电磁场存在于空间中，传播也不需要介质，那输送电能应该也不需要导线了吧？

可能你会说：不行啊，要接通电源正负极，才有机会让非静电力持续做功，否则若是开路电源，它与电源内的静电力一下子就妥协了，二者平衡，形成一个电容器，电场出不来啊。

对！但这个问题好说，接通就行了，但不必费那么大劲，拉那么远的电线，反正电磁场自己也会过去啊！为什么实际情况是，电线必须拉到用电的目的地去呢？

这应该算是本文中最硬核的问题。

先来看两张图。

这个人用力抖动绳子，他成功的将大部分能量输送到绳子的末端连接的物体处。

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再看下面这个水波，随着波向四周传播，能量也向四周扩散出去了。

你和朋友在一个人很多的会场上，你找不到他，你会打电话给他。如果你大喊他的名字，你的声音会被很多人听到，但传不了很远，因为你的声音是向四周传的，方向性差，声音大部分都被吸收掉了。

如果城市街道每个地方都一样平，没有水沟，下大雨时会产生积水。

这些表面看起来毫不相干的事情，背后是同一个道理：要使能量或物质的传输具有方向性，必须要打破空间的各向同性，造成一种方向上的差别。

如果空间只有一种物质，且密度均匀，显然是不行的。你必须恰当的安排空间物质的分布。物理规律在面对这种空间时，会根据一种自然的最优化方案。例如光学中的费马原理、力学中的最小作用量原理，确定一条最佳路径。

提示：下面浅色字体是关于电磁波的传播的部分，可选读

对于电磁波中的高频的部分，例如可见光甚至紫外线，它的波长较短，光基本按直线传播。在碰到介质分界时，光也会按照费马原理来安排自己的走向。不过，要让沿着某个特定的路径走，也必须采用类似于电线的做法，例如光导纤维就是干这事的。

而对于一般的电磁场来说，波动性非常明显，极易发生衍射。电磁波从某个点发出，一般情况下，会向四周发射。随着传播距离增大，电磁场会扩散到越来越大的范围。

考虑电磁波扩散中的两个球面，半径分别是 和 ，它们的面积比为 不考虑能量的损失，这两个球面上的能量一样多。因此，这两个球面上的能量密度比为 可见，能量密度是按照距离的平方衰减的！如果想在目的地接收到足够多的能量，你需要在那里竖起一面巨大的电磁波接收墙。

所以，任由电磁场在空中自由发挥肯定不行的！我们必须对其加以引导，让它能沿着一条路走，能量才会沿着该路径传到目的地。

要想使电磁场能沿着某条路径到达目的地，我们必须对空间中的物质分布作适当的安排，使这条路径成为电磁场运动的最优路径。

那么，该如何安排空间中的物质分布呢？

最神奇的事情来了！

人们发现，按照电磁场的边值关系，通电导线就在空间中开辟了一条最佳路径，因此电磁场就会选择沿着导线走！

换句话说，你想让电场能量流到哪里去，你只要把电线拉到那里去就行了。

呃，是不是有一种被愚弄的感觉？

可能你会说：废话，电流去哪里，自然会把能量带到哪里，还用的着你说这么多废话。

是的，你的话有一定道理，但却不是事实！

我这里先摆出事实真相，后面再跟你讲道理说明白。

首先，电场能量并不是被电流带着走的。因为，电场可存在于导线之外，它的传输路径与电流的路径并不重合。并且，能量也不是随着电流同步走的，电能是以光速传送，比电流快多了！更更重要的是，电能的流向甚至不一定是沿着电流的方向，而是反方向的！

你可能不信，放心，后面会让你明白为什么是这样的。

另一方面，电场能量可以到达没有电流的地方。若电源与用电设备非常靠近，而且你不在乎损失的电能，也不在乎电磁波扩散到空中会造成什么影响，你的确不需要拉线连接负载，电能仍然可部分的被输送。

例如，电磁炉和微波炉不就是用电磁波传送电能吗？用电磁炉时，你不用担心触电，因为本来就没有电流接到你的锅上嘛！微波炉之所以把门关上，也是为了避免电磁波跑出来了。

能否不借助导线，就能在空中建立一条高效的能量传输通道呢？显然，要高效，意味着能量不能分散，因此这个通道应该是一维的，而不是三维的。

各种无线传电的技术正在不断发展中。例如相控阵雷达、激光器、通信用微波天线、八木天线和抛物面天线等。然而，没有一种商业上可行的技术能够在没有长距离金属导线的情况下远距离输送大量电能。

所以，我没有愚弄你，说电能是被电流带着走的说法是错误的！

我们看到，电场能只是碰巧也沿着导线走罢了，但它一点都不想等着跟电流同流合污，而是顺着导线急速飞驰，将电流远远的抛在后面。

那么，核心的问题是，为什么电场能乖乖的沿着电线走？

这涉及一个重要的物理量：坡印廷矢量。

06

坡印廷矢量

根据能量守恒定律，能量不能被创造，也不能被消灭。既然如此，当我们考虑某个空间范围内、单位时间内所有的能量转换和流动以及增减时，这些量之间应该构成一个等式，比如：

转化来的-转化走的-流走的=增加的

这种公式化的语言，不仅指出能量应该守恒，而且表明它是如何守恒的。

类似的，电流的连续性方程就是电荷守恒定律的这种公式化表示。设单位时间内，某闭合曲面 内的电荷减少了，那么这个减少值必然等于电流密度对这个曲面的通量，即 根据稳恒电流的性质，上式右边为零。那么意味着，凡是稳恒电流，它的电流密度矢量的场对应闭合曲线，因为只有一个闭合曲线才能确保对任意闭合曲面不产生通量，这一点与磁感应线一样。

好，下面就按照这个思路来探讨一下电磁场的能量的流动。

现在有一直流电路，在这个电流所在的空间中任意取一个闭合曲面 。单位时间内，这个闭合曲面内的电场能量收支和结余之间应该也满足一种关系。下面将这个关系用数学公式表示出来。

按前面所讲，电路中的电流有两种转换方式，一是电源非静电力做功，我们用 表示非静电力的输出功率；二是电路的消耗，我们仅考虑纯电阻电路，这部分只有焦耳热，我们用 表示单位时间内产生的焦耳热。

除此之外，电场能量还会以光速流动，设用矢量 表示这种能量的流动，并称之为能流密度矢量。它的意思是指，与能量流动速度垂直的单位面积上，单位时间内所流过的能量值。

作为一个类比，电流密度矢量 是一个类似的量。它其实也可以叫做“荷流”，因为它表示单位时间，流过垂直于电流方向的单位面积内的电荷量。其实，任何物理的矢量都可以看做某个流体的"X流"，它的通量就是流体的流量。

而单位时间内，该曲面内的电磁场能量 的增加值就是能量随时间的导数，因此上述文字关系可以写为 现在，只要确定 的表达式，然后看它是否真的沿着导线走，就能确认电场能量沿着导线传输这一事实了。

注意，这里不准备讲如何从这个等式中推出能流密度矢量 的形式，因为那个过程真的有点复杂，真没必要在这里涉及过多。但上面这个式子本身的物理意义其实是非常清楚的。不光如此，这式子里面的其他东西都可以从其他的角度较容易的获得，那么我们就可以据此得到 的表达式了。

对于闭合电路，既有电场也有磁场，电磁场的能量密度是 设闭合曲面内包含的体积为 ，则其能量的增加率为 非静电力的做功功率，就是被曲面圈进的部分电源的电动势乘以电流，即 根据欧姆定律，单位时间内，圈进曲面的电阻在单位时间内产生的焦耳热为 据此，经过艰难的推导(此处省略狂虐吾之万字)，可得能流密度 的表达式为 这就是电磁场的能流密度矢量，也叫坡印廷矢量。

那么，为什么电磁场的能量传输速度是光速呢？

这一点也可从坡印廷矢量得到解释。在解释之前，我们先来看一下电流密度矢量。前面说过，它其实就是所谓“荷流”——表示电荷流动的矢量。我们看它的表达式 这里的 是载流子的浓度，那么 一起就是载流子的电荷密度，用 表示，则电流密度矢量可以表示为 这个表达式清晰的给出了 的物理意义：单位体积内的电荷移动所形成的一个物理量。如果参照这种结构，能流密度矢量应该可以写成 并且 的大小应该就是光速 。而实际情况的确如此，按照麦克斯韦方程组，可以证明

其中 就是光速。因此，电磁场的能流的速度是光速。

下面以稳恒电流电路为例，看电磁场的能量是如何流动的。

07

直流电路中的能流

根据前面所讲，之所以电场能量不再是朝四面八方辐射，而是沿着电路的导线传输，背后起作用的是电磁场的边值关系。它给出了一种限制条件，要满足这个条件，电磁场只好沿着导线的方向传播。

可见，这个边值关系挺神奇的。但本文不准备推导这个边值关系，只是直接给出，有兴趣的，可以参阅有关资料。

边值关系是指，在介质的分界面两侧，电场和磁场的切向和法向分量必须满足一定的要求。具体说就是，电场强度 和磁场强度 的切向分量分别相等；而电位移矢量 和磁感应强度 的法向分量分别相等。

这个是什么意思？我们拿直流电路中的一段导体来给大家比划一下。下面这个圆柱体是电路中的一段导体电阻。

我们看到，导体上的电流向左，导体内的电场只有水平分量。根据边值关系，导体外的贴近导体表面附近的电场向左的分量与之相等。根据电流与磁场的右手螺旋关系，导体表面附近，内外的磁场都只有沿着切线的分量，并且相等。写出来就是 可能有人不明白，为什么导体内部的电场只有水平分量？

这个问题要从电流密度说起。电流沿着导体流动，电流密度沿着导体的方向这是理所当然的。所以只要确认电流密度与电场强度之间是线性关系就行了。

假设电流在导体内均匀分布，由于是稳恒电流，所以电流密度 是不变的，本文第1节讲过，它的表达式为

电子定向漂移速度是由电场加速来获得的。既然稳恒电流中的电子漂移速度恒定，说明这个电场的加速过程并不是一直持续的，而是只能加速一段时间，其长度也是固定的。

事实的确如此！每当电子受到晶格的强力撞击后，它被撞的晕头转向，它的这点漂移速度完全淹没在那数量级大得多的热运动中去了。换句话说，碰撞之后，电子的漂移的速度又重新变成0了。

因此，电子只有一点极短的时间来被电场加速获得这个漂移速度，这个时间取决于一个常数，叫平均碰撞频率，学过分子热运动的人知道，它等于平均自由程除以平均速率。假设用 表示，则被加速后的末速度为 由于这是一个匀加速过程，所以电子的漂移速度的平均值应该是 这就得到电场与电流密度的比例关系 其中 为 实验表明，它决定导体的导电性能，因此叫电导率。

这就说明，当电流顺着导体在内部流动时，导体内部的电场只有沿着电流的分量，也即只有沿着导线方向的分量！根据前面给出的坡印廷矢量的定义，导体内的能流是沿着径向指向其轴线的。

现在再来看导体外面的情况。

你应该已经看到了，上面那段导体的图中，外表面附近的一点画出了电场的垂直分量 ，可能你觉得奇怪，为什么呢？按说边值关系没有要求这一点啊！什么原因呢？

原因是：导体表面是有电荷的！学过高斯定理的人知道，既然导体内部没有电场的垂直分量，那么外表面必定有电场的垂直分量，否则就违反了高斯定理。

且慢！你问我：为什么导体表面有电荷呢？

我的回答是：因为导体内部其实并没有净电荷！

你大吃一惊：什么？你有没搞错啊！导体内有电流，却没有净电荷？

我：为什么电流就意味着有净电荷呢？你忘了，导体内部还有带正电的原子核啊！

你又说：那好吧，你怎么证明导体内部没有净电荷？

我：根据前面所讲，稳恒电场和静电场一样，满足高斯定理。因此电场强度对任意闭合曲面的通量等于所包含的电荷除以电容率；而稳恒电流的电流密度的场线却是闭合的，因此它对任意闭合曲面的通量为零。但根据上面所讲，电场强度与电流密度之间只差一个比例系数，只有当导体内没有电荷时才能解决这一“矛盾”。

你笑了一笑：等等，导体内没电荷，怎么就成了导体表面有电荷的原因了？

我：因为导体上必须有电荷，否则没法形成导体内外的电场。

你有点懵了：咦，导体中的电场不是电源两极处的电荷产生的吗？

我：非也非也！电源两极处的电荷贡献了一部分，但导体内外的电场主要是由导体表面的电荷贡献的。这一点可以根据一个思想实验来证明。

如下图所示，设导体某处折回且相互无限靠近，很明显这两段平行的导体内的电流互为反向，根据电场与电流密度的关系，导体内部的电场必然反向，如此靠近的空间，电场相反，如果是由电源两端的电荷激发的电场，是无法实现的。

据此得出结论：

既然导体表面上有电荷，那么按照高斯定理，导体外部附近必有垂直与表面的电场分量。这就是为什么前面那个图中画出了 的原因。

不过，导体表面所带电荷，要依据靠近电源正负极而分别为正或负。所以 的方向会因此而向外或向内。前面那个图中 是向外的，说明这段导体靠近电源的正极。

好了，现在确认了导体外部的电场强度是斜着指向下方的；而磁场强度则是沿着电流的右手螺旋方向，在该处是垂直于屏幕向外的。故坡印廷矢量的方向就是斜着指向导体内部的。

噫，看起来能流方向并不是沿着导线的方向哦，有点倾斜，怎么回事？

原因是，上述研究的导体考虑了电阻！换句话说，上面得出的实际上是电阻附近的能流方向。

若是理想的导线，那么它的电阻可以忽略，这时候它的电导率是无限大，由于导线内的有不为零的电流，要使 成立，导线部电场强度 应为零。 而根据边值关系，导线外部电场强度的水平分量也为零。

所以，对理想导线来说，其表面附近的电场只有垂直分量 ，它与该处沿切向向外的磁场强度叉乘，得到坡印廷矢量的方向刚好沿水平方向。

由于理想导线内部没有电场，这说明电磁场的能量全部在导线的外面。所以对理想导线来说，电磁场的能量就在导线外面沿着导线传送的。

并且，一个严重违反直觉的事情是：对靠近电源负极的导线，它的表面出现的是负电荷，因此导线外部的电场是垂直向内的，因此坡印廷矢量的方向竟然与电流方向相反! 电能根本不是循着电流的方向被传送的！

所以，电流压根没有参与输送电能这件事，都是电磁场干的。

好了，现在我们已经分析出电磁场在导线和电阻外面的流向了。最后再来看下电源附近的能流方向。

还记得我们前面通过分析电场对电子的加速运动得出 吧！对于电源来说，电子还受到非静电力的作用，这个力也对应一个场，我们称之为非静电场 。因此在电源内部，电子的平均漂移速度为 自然而然的，电流与电场的关系变为 因为 比 大，所以电源内部，电流的方向与 相反，它从负极流向正极。因此分析电源的能流的过程与上面导体的情况基本一样，只不过平行于电流密度的电场现在反过来了，即 和 都改向右了，那么坡印廷矢量就改为斜向下了，也就是说，电源的能流向外流出。

好，电路各个部分的能流方向都弄清楚了。总结在一起就是：

电源附近的电磁场能量往外流出；导线附近的电磁场能量沿着导线流动，靠近电源正极的部分与电流同向，而靠近电源负极的部分与电流反向；而电阻附近的电磁场能量则从外部流向内部。

如果用图描绘一下，就是下面这个样子

是不是非常直观？确实！对那些心无杂念的，脑子一片空白的门外汉，也许真的就能画出这么个图来呢！因为能量要被使用，必定要被送到目的地，怎么送？沿着导线送过去就对了嘛。

至此，终于可以回答前面提出的那个最硬核的问题：为了传送电能，导线是省不了的，因为电磁场就是沿着导线的方向来输送电能的。

至于未来是否能实现不需要导线也能长距离 的传送电能，让我们拭目以待吧。

参考文献

梁灿彬，秦光戎等，电磁学，北京，高等教育出版社，2018.

Jackson, John D. (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons.

L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (4th ed.).

来源：大学物理学

编辑：半七、yrLewis

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