微积分的历史和应用，如同计算机一样，想想就让人激动

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好多人觉得数学没有用，或者用处不大，上学学习的三角函数和二元二次方程组在实际生活中根本应用不到，一般来说，只是在购物的时候用到一些加减法而已。这种想法跟微积分是牛顿和莱布尼茨发明的一样大错而特错。

数学是物理的基础，而物理发展则推动了我们的科技，这毋庸置疑，古往今来，绝大多数的发明家首先是一个物理学家。我们的文明发展到今天的地步，亦离开不数学，航海、天文、矿山建设等许多课题都有赖于数学的发展才能得以深入研究。

有一个很典型的故事，一个物理系的学生问他的老师：“为什么近一百年来物理学都没有什么惊天动人的建树？”老师想都没想直接回答道：“因为数学没有发展。”这虽然只是一个则故事，真伪难辨，但已经能说明数学的重要性。而数学当中在现实生活中应用最广泛的就是微积分。

微积分的出现解决了一直困惑人们的两个问题：第一是如何计算曲线上任意点的切线，即微分；第二是如何计算任意一块区域的面积，即积分。所以微积分是微分学和积分学的统称。

微积分原理示意图

提到微积分，很多人就头疼。但是学数学绕不开微积分，正如我国一句老话所说，“工欲善其事必先利其器”，微积分就是数学家手里的“利器”，很多研究都是以微积分为基础，其重要性不言而喻。提到微积分，很多人以为就是函数，其实微积分是一个统筹的概念，主要包括极限、微分学、积分学及其应用，其中微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，积分学包括求积分的运算。提到微积分，很多人第一时间就想到牛顿和莱布尼茨，认为是这两个人发明创建了微积分，其实不然，实际上微积分是经过几代数学家的持续努力和研究，经过漫长时间的发展演变才得以形成。

牛顿画像↑

莱布尼兹画像↑

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微积分思想的萌芽更早之前甚至可以追溯到公元前7世纪，古希腊科学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。阿基米德在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中也隐含着近代积分的思想。三国时期的刘徽所研究的割圆术对积分学也有研究。遗憾的是，在微积分发展最为迅速的中世纪，我国正处于闭关锁国的明清时代，没能与世界上其他的数学家一起狂欢。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量 ，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西……欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

一些数学家，包括科林·麦克劳林，试图利用无穷小来进行证明，但直到150多年之后才得以成功。在奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯的努力之下，终于实现对无穷小的符号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中，我们看到了大量的基础论证，包括通过连续来对无穷小进行定义，和用以定义微分的一个不太精确的（ε,δ）-极限定义版本。魏尔斯特拉斯推导总结了极限概念，回避了无穷小。继魏尔斯特拉斯之后，微积分就常以极限作为基础，而非无穷小了。波恩哈德·黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期，微积分这一概念被综合成为欧几里得空间和复平面。

极限不是对微积分基础的唯一推导，如使用亚伯拉罕·罗宾逊的非标准分析进行推导。罗宾逊在1960年左右所做的推导袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念，应用数理逻辑的方式将实数系统扩大到了无穷小和无限数量。所得出的结果为超实数，可以套用莱布尼茨式的微积分法则。

在当时，牛顿和莱布尼兹发明微积分还引起了一场轩然大波，英国皇家学院支持本土的牛顿，而另外一些欧洲大陆的国家则推崇德国的布莱尼茨，这一对抗竟然绵延了一个世纪之久，导致了微积分发展的停滞。事实上，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，并且有意思的是两个人也是在相近的时间里先后完成自己的研究。牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是莱布尼茨正式公开发表微积分这一理论却要比牛顿早三年。时间的先后并不能说明多少问题，而且他们虽然都是研究微积分，但研究方向其实并不相同，牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，指出变量是由点、线、面的连续运动产生的。他在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度，或已知运动的速度求给定时间内经过的路程。莱布尼茨在1684年发表了现在世界上认为是最早的微积分文献。这篇文章的题目相当抢眼，叫做《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。这篇看上去有些潦草的文章却包含了现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇关于积分学的文献。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨所选择的。简单来说，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起：一个是切线问题——微分学的中心问题，一个是求积问题——积分学的中心问题。

微积分的英文是Calculus，这并非英语，而是拉丁语，原义是小石头。看到这里，可能很多人都不明白了，到底是谁要用这样一个平实普通的事物来为命名如此高大上的一门新兴学科？答案就是莱布尼茨。在古时候，人们会使用小石头作为计算工具，久而久之，小石头就代表了一种计算方式。因此莱布尼茨很巧妙地采用这一传统的称呼来为新兴事物命名。另外，莱布尼茨还用拉长的S来表示积分，用d来代表差，这两个单词也都是从拉丁语中化来。而牛顿则创造出Fluxion（通量）这个名词来表示导数。并且发现了第一个版本的微积分定理。所以很难说两个人谁对微积分发明的贡献更大。现在，人们普遍认为是牛顿、莱布尼茨两人分别建立起各自的体系，没有互相交流，更不存在抄袭这样的恶劣问题。笔者这是一种非常正确和健康的学术心态，与其去纠结这样难以查明的历史遗留问题，不如多做一些科学研究为明天的数学大厦建设增砖添瓦。这才是每个学者应该关心的问题。

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微分应用包括极端速度、加速度、曲线斜率、最优化等。积分应用包括面积、体积、弧长、质心、做功、压力。更高级的应用包括幂级数和傅里叶级数等。

微积分为更加精确地理解空间、时间和运动的本质提供了便利。几个世纪以来，数学家和哲学家都为除以零或无限这一悖论而大为苦恼。这些问题在研究运动和面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺为该悖论举出了几个著名的例子。微积分，特别是极限和无穷级数，为解决该悖论提供了工具。

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括精算、计算机、统计、工程、商业、医药、人口统计，特别是物理学；经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在变量和常量之间互相转化，让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式。

物理学大量应用微积分；所有经典力学和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量，动摩擦力，保守力场的总能量都可用微积分来计算.例如，将微积分应用到牛顿第二定律中：史料一般将导数称为“变化率”。物体动量的变化率等于向物体以同一方向所施的力。今天常用的表达方式是，它包换了微分，因为加速度是速度的导数，或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度，我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖和死亡率来模拟种群改变。

微积分可以与其他数学分支交叉混合。例如，混合线性代数来求得值域中一组数列的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中，微积分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

格林公式连接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为且平面区域为的双重积分。它被设计为求积仪工具，用以量度不规则的平面面积。例如，它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积。

在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退数据，微积分可以推导出服用量。在核医学中，它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际利润来确定最大收益。

微积分也被用于寻找方程的近似值；实践中，它用于解微分方程，计算相关的应用题，如牛顿法、定点循环、线性近似等。比如，宇宙飞船利用欧拉方法来求得零重力环境下的近似曲线。

很多人不学习数学，也不了解数学，但是不得不承认，微积分真的有用，我们生活的物质世界就是由这样的理论支撑才得以建立。

微积分在牛顿之后的发展：从初创到现代应用

微积分的发展历程是数学史上的一个重要篇章。自从牛顿和莱布尼茨在17世纪末期独立发明微积分以来，这一数学分支经历了从原始形式到现代高度抽象和应用的演变。以下是微积分发展的几个关键阶段和重要贡献者。

#### 18世纪：建立基础和扩展应用

1. **欧拉（Leonhard Euler）**：

欧拉是18世纪最具影响力的数学家之一，他的工作涵盖了数学的几乎所有领域。在微积分方面，欧拉对无穷小分析的形式化做出了重要贡献，包括对函数的系统研究和对微分方程的深入探讨。他引入了许多现代数学符号，包括表示自然对数底的 \(e\) 和表示圆周率的 \(\pi\)。欧拉通过将微积分应用于物理问题，如流体动力学和天体力学，极大地推动了数学物理的发展。

2. **拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）**：

拉格朗日试图将微积分的基础建立在无需无穷小量的代数基础之上。他引入了拉格朗日乘数法，这是解决约束优化问题的一种方法。拉格朗日的工作在形式上推动了微积分向更抽象的代数分析转变。

#### 19世纪：微积分的严格化和多元扩展

1. **柯西（Augustin-Louis Cauchy）**：

柯西是微积分严格化的关键人物。他引入了极限的严格定义，并用这一定义来重新定义导数和积分。柯西的工作减少了对直观几何概念的依赖，使微积分成为一门更加严谨和抽象的科学。

2. **黎曼（Bernhard Riemann）**：

黎曼在多变量微积分和几何方面做出了开创性贡献。他引入了“黎曼积分”，这种积分方式能够处理更加复杂的函数，扩展了积分理论的应用范围。黎曼对流形和曲面的研究也为现代几何和物理理论（如广义相对论）奠定了基础。

3. **魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）**：

魏尔斯特拉斯通过引入ε-δ定义来进一步严格化极限和连续性的概念，增强了微积分理论的逻辑严密性。他对函数理论的研究推动了分析学向更高层次的抽象发展。

#### 20世纪：现代应用与理论扩展

1. 勒贝格积分：革新传统积分理论

亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）是20世纪初的一位法国数学家，他对积分理论的革新极大地扩展了数学分析的边界。勒贝格积分的引入不仅解决了传统黎曼积分无法处理的问题，还为现代数学分析、概率论和物理学等领域提供了强大的工具。

黎曼积分的局限性

在勒贝格之前，黎曼积分是分析学中使用最广泛的积分形式。黎曼积分通过将函数的定义域划分为小区间，并用区间上函数值的和乘以区间长度来近似整个函数的面积。然而，这种方法在处理某些类型的函数时遇到了困难，特别是那些在定义域内具有不连续点或者是高度振荡的函数。

例如，考虑函数 �(�)f(x) 定义为：

�(�)={1if � is rational0if � is irrationalf(x)={10if x is rationalif x is irrational​

这个函数在任何区间内都既有有理数点也有无理数点，因此在任何实数区间上其黎曼积分都无法定义，因为它在任何点都不满足黎曼积分的基本连续性或可积性条件。

勒贝格积分的引入

勒贝格改变了传统积分的观点：他提出通过测量函数值集合的“大小”来定义积分，而不是通过测量定义域的划分。勒贝格积分关注函数取值的分布，而不仅仅是定义域的划分。

具体来说，勒贝格积分过程包括以下步骤：

勒贝格积分的应用

勒贝格积分理论的引入对数学和物理学领域产生了深远影响。在数学中，它使得对更广泛类别的函数（如Lebesgue可积函数）进行精确积分成为可能。在概率论中，勒贝格积分是现代概率测度理论的基础，它允许对随机变量进行更精确的数学描述和分析。

例如，在物理学中，处理电磁场中的能量分布或量子力学中的波函数时，常常需要对具有奇点或不连续性的函数进行积分。勒贝格积分提供了一种强大的工具来处理这些问题，使得理论预测更加精确和可靠。

勒贝格积分不仅解决了传统黎曼积分无法处理的复杂函数问题，还极大地扩展了数学家处理问题的能力。通过对函数值而非定义域进行“测量”，勒贝格开创了现代数学分析中一个全新而广泛应用的领域。

2. 大卫·希尔伯特：数学基础的革新者

大卫·希尔伯特（David Hilbert），德国数学家，对20世纪数学的发展产生了深远的影响。他的工作覆盖了几何、代数、数论、函数理论、数理逻辑及数学基础等多个领域。特别是他在数学基础和函数空间理论上的贡献，不仅改变了数学的研究方向，也对物理学，特别是量子力学的发展起到了关键作用。

公理化方法

希尔伯特最著名的贡献之一是他对几何的公理化方法。在他的作品《几何基础》中，希尔伯特提出了一套公理系统，这些公理旨在提供一个完整且无矛盾的几何理论基础。这种方法不仅重新定义了几何学，也为后来的数学研究提供了一个模型，即通过公理化方法来探索和确立整个数学领域的基础。

这种公理化思想对微积分和更广泛的数学分析领域产生了重要影响。例如，微积分中的实数系统和函数概念的严格化，可以看作是在希尔伯特公理化思想的影响下，对早期基于直观和非严格逻辑的方法的一种改进。

函数空间理论

希尔伯特在函数空间理论方面的工作，尤其是对希尔伯特空间的研究，为现代数学分析和物理学提供了强大的工具。希尔伯特空间是一个完备的内积空间，这种空间的概念对量子力学中的状态空间模型至关重要。

例如，量子力学中的波函数可以视为定义在希尔伯特空间上的元素。这些波函数描述了一个量子系统的状态，并且通过希尔伯特空间上的线性算子（例如能量、动量和位置算子）来表达物理量。

应用实例：量子力学

在量子力学中，希尔伯特空间提供了一个描述粒子状态的框架。例如，一个电子在氢原子中的状态可以通过定义在希尔伯特空间上的波函数来描述。这些波函数满足薛定谔方程，这是一个线性偏微分方程，其解决方案可以在希尔伯特空间中找到。

此外，希尔伯特空间中的正交性和完备性概念允许物理学家准确地描述和预测量子系统在不同状态之间的转换概率。这种方法极大地丰富了我们对物质基本性质的理解，并推动了现代物理学的发展。

希尔伯特通过其公理化方法和对函数空间理论的贡献，不仅深化了数学作为一门科学的基础，也为现代物理学，尤其是量子力学提供了必要的数学工具。他的工作展示了数学理论在科学中应用的力量，以及通过严格化和系统化方法推动科学前进的重要性。

### 总结

从牛顿和莱布尼茨时代开始，微积分经历了从直观工具到严格科学语言的转变。18世纪和19世纪的数学家们不仅扩展了其应用领域，还增强了其理论基础。到了20世纪，微积分已经成为现代科学描述自然界复杂现象不可或缺的工具。这一演变过程不仅反映了数学自身的发展，也映射出科学方法论从经验到理论再到实践应用的深化过程。

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